CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

El profesor nos dio una introducción de lo que es una función:

Se dice que una función FDX es continua en un punto X=a SI y solo se cumplen las 3 condiciones siguientes:

A) Que el punto X=a tenga imagen

F (a)

B) Que exista el limite de la función en el punto X=a

Lim F(X) ---- Lim F(X) = Lim f(X)

X---a             X----a-          X-----a+ 

C) Que la imagen y el punto coincida con el limite de la función en el punto

f(a) - Lim f(X)

X----a

Izquierdo Derecho

Izquierdo menos----------Derecho mayor

¿Dónde se aplica la continuidad de una función?Función continua. En la naturaleza y en nuestra vida diaria aparecen numerosos fenómenos que tienen un comportamiento continuo. Por ejemplo, el crecimiento de una planta es continuo, el desplazamiento de un vehículo o el volumen del agua que fluye de un recipiente.

Definición formal:

La función $f$ es continua en el punto $c$ si

$$\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=f\left(c\right)$$

La función $f$ es continua si es continua en todos los puntos.

Por ejemplo, la función $f\left(x\right)=1/x$ no es continua en $x=0$ porque no existe $f\left(0\right)$.

Observaciones:

En realidad, para hablar de continuidad en un punto $a$, debería ser indispensable que el punto $a$ pertenezca al dominio de la función.

Por ejemplo, el dominio de $f\left(x\right)=1/x$ es $R-\left\{0\right\}$ y la función es continua en su dominio. Sin embargo, no existe el li­mite de $f\left(x\right)$ cuando $x\to 0$ ni existe $f\left(0\right)$, por lo que decimos que $f$ no es continua en $x=0$.

Como normalmente consideramos a todas las funciones como $f:R\to R$, tenemos que calcular primero el dominio de la función y, después, la continuidad en el dominio.

Ejemplos de tipos de funciones:

Funciones polinómicas

• $$f\left(x\right)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+$$$$+...+a_{1}x+a_0$$

  Son continuas en todos los reales.

Funciones racionales

• $$f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$$

  Son continuas en todos los reales excepto en los que anulan al denominador.

Funciones exponenciales

• $$f\left(x\right)=a^x$$

  Como regla general, son continuas en todos los reales. Cuando la base es no positiva, $a\le 0$, puede haber complicaciones.

Funciones logarítmicas

• $$f\left(x\right)=\log \left(x\right)$$

  Son continuas en todos los reales positivos.

Funciones irracionales

• $$f\left(x\right)=\sqrt[n]{nx}$$

  Si $n$ es par, son continuas en todos los reales. Si $n$ es impar, en los reales positivos.

Funciones trigonométricas

• El seno y el coseno son continuas en todos los reales. La tangente no es continua en $\pi /2+n\pi$ para todo entero $n$.

La mayoría de las funciones que veremos son combinaciones de las anteriores, así que es recomendable aprender su continuidad.

EJEMPLO DE FUNSIONES:

Analiza la continuidad de la siguiente función racional:

SOLUCION:

Las funciones racionales son continuas en todo su dominio, es decir, en todos los números reales excepto en los valores que anulan el denominador. Por lo tanto, igualamos el denominador de la función racional a cero para ver qué puntos no pertenecen al dominio:

De manera que la función será continua en todos los puntos menos en x=5.

EJEMPLO:

Analiza la continuidad de la siguiente función definida a trozos:

SOLUCION:

La función es continua tanto en el primer tramo,  , como en el segundo tramo, , ya que son funciones polinómicas.

De forma que el único punto en el que la función podría ser discontinua es el punto de ruptura de la función a trozos. Así que vamos a calcular los límites laterales en ese punto:

Los dos límites laterales coinciden, por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 1 es igual a 3:

Además, la imagen de x=1 también es 3:

Así pues, como el límite de la función en x=1 es igual a la imagen de dicho punto, la función es continua en el punto x=1. Y, en consecuencia, es continua en todos los números reales.

Continuidad de funciones (con ejercicios) (matesfacil.com)

▷ Cómo saber si una función es continua (ejercicios resueltos) (funciones.xyz)