Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

 INFOGRAFIA

Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. Existen ecuaciones diferenciales ordinarias, en derivadas parciales, de primer orden, de segundo orden, de tercer orden, de orden N, lineales y no lineales.

Ejemplo:

Y = Dependiente

X o t = Independiente

Ejemplos de ordinario: Tomados de mi clase por que le entiendo mas apuntes de clase

Ejemplos de orden:

Ejemplos de Homogénea y no homogénea:

Ejemplo de linealidad:

Sustitución trigonométrica

 La sustitución trigonométrica es un método de integración. En lugar de sustituir usando una nueva variable que es función de x (u=f(x)), se define a x como una función trigonométrica de una nueva variable (x=f(θ)).

El método consiste en:

• Reescribir la ecuación en términos de la variable (θ) y su diferencial (dθ)
• Resolver la integral
• Reescribir el resultado en términos de x

Sirve para los siguientes casos:

En la tabla se muestra como se deben sustituir la variable x y el diferencial dx.

Después de realizar la integración es recomendable dibujar un triangulo rectángulo en donde se relacionen x, a y  θ para regresar la función a términos de x.

Ejemplo:

Hallar la siguiente integral usando el método de sustitución trigonométrica:

A) y= √(a2-x2) / x2

x= a sen θ      dx= a cos θ dθ

Video complementario: 

Info tomada de Cienciayt

Integracion de potencias de funciones trigonometricas

 Cuando las integrales presentan potencias de funciones trigonométricas es necesario utilizar diferentes identidades que permitan obtener una nueva expresión trigonométrica más sencilla para facilitar la integración.

Las identidades más empleadas son:

Integrales de potencias de la función Seno.

Si las potencias son impares deberás emplear:

Si las potencias son pares deberás emplear :

Ejemplos:

En algunos textos ésta solución se ve diferente porque se emplea la identidad del ángulo

doble:

Integrales de potencias de la función Coseno.

Si las potencias son impares deberás emplear :    

de donde 

Ejemplo:

informacion tomada de www.IPN.mx guia de calculo

Video explicativo: 

VALOR ESPERADO Y VARIANZA

Las variables aleatorias son una parte fundamental de la teoría de la probabilidad. Se utilizan para modelar y estudiar fenómenos cuyos resultados no son conocidos de antemano. Una variable aleatoria discreta toma valores específicos y aislados con ciertas probabilidades.

Definición de variable aleatoria discreta

Como su nombre lo indica, una v.a. discreta es aquella v.a. cuyo conjunto de valores que puede tomar es un conjunto de cardinalidad a lo más numerable. Es decir, que la cantidad de valores distintos que puede tomar la v.a. es finito, o infinito numerable

Ejemplos de variables aleatorias discretas

Las variables aleatorias discretas siempre son numéricas y contables. Por lo general miden el número de veces que ocurre un suceso, por ejemplo:

•       Número de llamadas recibidas por un centro de llamadas en una tarde.

•       Cantidad de depósitos bancarios efectuados en un solo día.

•       Lanzar un dado y leer el número que aparece en la cara superior.

•       Número de caras que salen al lanzar dos monedas idénticas.

•       Alumnos que aprobaron el examen de Álgebra I, seleccionados al azar de un grupo de 100 estudiantes de ingeniería de una universidad.

•       Integrantes adultos de una manada de elefantes en una reserva de África.

•       Número de hijos por familia en una determinada ciudad.

•       Personas que asisten a una función de cine de medianoche.

Cantidad de automóviles que pasan por un peaje de una autopista

Una variable aleatoria se dirá discreta si el conjunto de valores que toma es un conjunto numerable, es decir, que solo puede tomar unos valores concretos. Dicho conjunto lo denotaremos por: {x₁, x₂, x₃,...., x_k}

Toda variable aleatoria discreta tiene asociada una función de probabilidad, que a cada valor, le marca la probabilidad de que la variable tome  dicho valor. Esta probabilidad viene a jugar el mismo papel que la frecuencia relativa en los temas de estadística.

Variable aleatoria discreta:

Ejemplo: Obtener la función de probabilidad de la variable "puntuación obtenida al lanzar un dado". 

  Definimos la variable aleatoria X= puntuación obtenida. 

Los posibles resultados son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6  y todos esos valores tienen una probabilidad de 1 / 6.  
Si ponemos en forma de tabla los resultados, la función de probabilidad quedaría: 

Formula:

E= (1)(1/6)+(2)(1/6)+(3)(1/6)+(4)(1/6)+(5)(1/6)+(6)(1/6)= 3.5

= 21/6= 3.5

Informacion tomada de mis compañeros.

Integracion por fracciones parciales

 La integración por fracciones parciales es una técnica de integración que consiste en reescribir a una función racional como la suma de fracciones simples. Luego, la integral de cada fracción puede ser encontrada fácilmente.

EJERCICIO 1

Hallar la integral:

                                                    

Este caso corresponde a un integrando de la forma $\frac{�(�)}{�(�)}$ donde el grado de $�(�)$ es mayor o igual que el grado de $�(�)$.

En tal caso, lo primero que se debe hacer es efectuar la división de polinomios. De esta manera, el cociente $\frac{�(�)}{�(�)}$ queda expresado como:

$$\frac{�(�)}{�(�)}=�(�)+\frac{�(�)}{�(�)}$$

Donde $�(�)$ es el cociente y $�(�)$ el residuo. Para el integrando del ejemplo, se obtiene:

$$({�}^2+�+3)÷(�-2)=(�+3)+\frac{9}{�-2}$$

Con esto en mente, la integral a resolver se reescribe así:

$$\int \left(\frac{{�}^2+�+3}{�-2}\right)��=\int [(�+3)+\frac{9}{�-2}]��$$

Obteniéndose tres integrales inmediatas:

$$\int \left(\frac{{�}^2+�+3}{�-2}\right)��=\int ���+3\int ��+9\int \frac{��}{�-2}$$

$$\int \left(\frac{{�}^2+�+3}{�-2}\right)��=\frac{{�}^2}{2}+3�+9\ln \mathrm{\mid }�-2\mathrm{\mid }+�$$

EJERCICIO 2

Calcular la siguiente integral por el método de fracciones simples:

Puesto que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, no es necesario dividir, y se pasa directamente a factorizar el denominador, lo cual es muy sencillo, ya que es una diferencia de cuadrados perfectos:

$${�}^2-9=(�+3)(�-3)$$

De esta manera, la integral propuesta quedaría así:

$$\int \frac{��}{{�}^2-9}=\int \frac{��}{(�+3)(�-3)}$$

Puesto que el denominador es el producto de dos factores lineales, el integrando se puede expresar de este modo:

$$\frac{��}{{�}^2-9}=\frac{1}{(�+3)(�-3)}=\frac{�}{�+3}+\frac{�}{�-3}$$

Resolviendo la suma de fracciones algebraicas, resulta:

$$\frac{1}{(�+3)(�-3)}=\frac{�}{�+3}+\frac{�}{�-3}$$

$$=\frac{�(�-3)+�(�+3)}{(�+3)(�-3)}$$

$$=\frac{��-3�+��+3�}{(�+3)(�-3)}$$

$$=\frac{�(�+�)-3�+3�}{(�+3)(�-3)}$$

Dado que el denominador siempre es el mismo, deben igualarse los numeradores:

$$�(�+�)-3�+3�=1$$

Igualar los respectivos coeficientes de cada potencia de $�$, conduce a las siguientes ecuaciones:

$\phantom{\mathrm{}}�+\phantom{\mathrm{}}�=0$

$-3�+3�=1$

Se deduce fácilmente, sumando ambas ecuaciones término a término, que:

$2�=1\Rightarrow �={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Puesto que $�=-�$, entonces:

$�=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Por lo tanto:

$$\frac{1}{(�+3)(�-3)}=\frac{�}{�+3}+\frac{�}{�-3}$$

$$=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{�+3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{�-3}\right)$$

Y la integral buscada se transforma en:

$$\int \frac{��}{{�}^2-9}=-\frac{1}{2}\int \frac{��}{�+3}+\frac{1}{2}\int \frac{��}{�-3}$$

$$=-\frac{1}{2}\ln \mid \frac{1}{�+3}\mid +\frac{1}{2}\ln \mid \frac{1}{�-3}\mid +�$$

Por lo tanto:

$$\int \frac{��}{{�}^2-9}=-\frac{1}{2}\ln \mid \frac{1}{�+3}\mid +\frac{1}{2}\ln \mid \frac{1}{�-3}\mid +�$$

$$Video\; explicativo$$

 

$$$$

$$\int \frac{{�}^2+�+3}{�-2}��$$