lunes, 13 de noviembre de 2023

Integracion por fracciones parciales

 La integración por fracciones parciales es una técnica de integración que consiste en reescribir a una función racional como la suma de fracciones simples. Luego, la integral de cada fracción puede ser encontrada fácilmente.

EJERCICIO 1

Hallar la integral:

                                                    

Este caso corresponde a un integrando de la forma ()() donde el grado de () es mayor o igual que el grado de ().

En tal caso, lo primero que se debe hacer es efectuar la división de polinomios. De esta manera, el cociente ()() queda expresado como:

()()=()+()()

Donde () es el cociente y () el residuo. Para el integrando del ejemplo, se obtiene:

(2++3)÷(2)=(+3)+92

Con esto en mente, la integral a resolver se reescribe así:

(2++32)=[(+3)+92]

Obteniéndose tres integrales inmediatas:

(2++32)=+3+92

(2++32)=22+3+9ln2+

EJERCICIO 2

Calcular la siguiente integral por el método de fracciones simples:

Puesto que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, no es necesario dividir, y se pasa directamente a factorizar el denominador, lo cual es muy sencillo, ya que es una diferencia de cuadrados perfectos:

29=(+3)(3)

De esta manera, la integral propuesta quedaría así:

29=(+3)(3)

Puesto que el denominador es el producto de dos factores lineales, el integrando se puede expresar de este modo:

29=1(+3)(3)=+3+3

Resolviendo la suma de fracciones algebraicas, resulta:

1(+3)(3)=+3+3

=(3)+(+3)(+3)(3)

=3++3(+3)(3)

=(+)3+3(+3)(3)

Dado que el denominador siempre es el mismo, deben igualarse los numeradores:

(+)3+3=1

Igualar los respectivos coeficientes de cada potencia de , conduce a las siguientes ecuaciones:

+=0

3+3=1

Se deduce fácilmente, sumando ambas ecuaciones término a término, que:

2=1=12

Puesto que =, entonces:

=12

Por lo tanto:

1(+3)(3)=+3+3

=12(1+3)+12(13)

Y la integral buscada se transforma en:

29=12+3+123

=12ln1+3+12ln13+

Por lo tanto:

29=12ln1+3+12ln13+


 





2++32


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