La integración por fracciones parciales es una técnica de integración que consiste en reescribir a una función racional como la suma de fracciones simples. Luego, la integral de cada fracción puede ser encontrada fácilmente.
EJERCICIO 1
Hallar la integral:
Este caso corresponde a un integrando de la forma donde el grado de es mayor o igual que el grado de .
En tal caso, lo primero que se debe hacer es efectuar la división de polinomios. De esta manera, el cociente queda expresado como:
Donde es el cociente y el residuo. Para el integrando del ejemplo, se obtiene:
Con esto en mente, la integral a resolver se reescribe así:
Obteniéndose tres integrales inmediatas:
EJERCICIO 2
Calcular la siguiente integral por el método de fracciones simples:
Puesto que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, no es necesario dividir, y se pasa directamente a factorizar el denominador, lo cual es muy sencillo, ya que es una diferencia de cuadrados perfectos:De esta manera, la integral propuesta quedaría así:
Puesto que el denominador es el producto de dos factores lineales, el integrando se puede expresar de este modo:
Resolviendo la suma de fracciones algebraicas, resulta:
Dado que el denominador siempre es el mismo, deben igualarse los numeradores:
Igualar los respectivos coeficientes de cada potencia de , conduce a las siguientes ecuaciones:
Se deduce fácilmente, sumando ambas ecuaciones término a término, que:
Puesto que , entonces:
Por lo tanto:
Y la integral buscada se transforma en:
Por lo tanto:
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