Integracion por fracciones parciales

 La integración por fracciones parciales es una técnica de integración que consiste en reescribir a una función racional como la suma de fracciones simples. Luego, la integral de cada fracción puede ser encontrada fácilmente.

EJERCICIO 1

Hallar la integral:

                                                    

Este caso corresponde a un integrando de la forma $\frac{�(�)}{�(�)}$ donde el grado de $�(�)$ es mayor o igual que el grado de $�(�)$.

En tal caso, lo primero que se debe hacer es efectuar la división de polinomios. De esta manera, el cociente $\frac{�(�)}{�(�)}$ queda expresado como:

$$\frac{�(�)}{�(�)}=�(�)+\frac{�(�)}{�(�)}$$

Donde $�(�)$ es el cociente y $�(�)$ el residuo. Para el integrando del ejemplo, se obtiene:

$$({�}^2+�+3)÷(�-2)=(�+3)+\frac{9}{�-2}$$

Con esto en mente, la integral a resolver se reescribe así:

$$\int \left(\frac{{�}^2+�+3}{�-2}\right)��=\int [(�+3)+\frac{9}{�-2}]��$$

Obteniéndose tres integrales inmediatas:

$$\int \left(\frac{{�}^2+�+3}{�-2}\right)��=\int ���+3\int ��+9\int \frac{��}{�-2}$$

$$\int \left(\frac{{�}^2+�+3}{�-2}\right)��=\frac{{�}^2}{2}+3�+9\ln \mathrm{\mid }�-2\mathrm{\mid }+�$$

EJERCICIO 2

Calcular la siguiente integral por el método de fracciones simples:

Puesto que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, no es necesario dividir, y se pasa directamente a factorizar el denominador, lo cual es muy sencillo, ya que es una diferencia de cuadrados perfectos:

$${�}^2-9=(�+3)(�-3)$$

De esta manera, la integral propuesta quedaría así:

$$\int \frac{��}{{�}^2-9}=\int \frac{��}{(�+3)(�-3)}$$

Puesto que el denominador es el producto de dos factores lineales, el integrando se puede expresar de este modo:

$$\frac{��}{{�}^2-9}=\frac{1}{(�+3)(�-3)}=\frac{�}{�+3}+\frac{�}{�-3}$$

Resolviendo la suma de fracciones algebraicas, resulta:

$$\frac{1}{(�+3)(�-3)}=\frac{�}{�+3}+\frac{�}{�-3}$$

$$=\frac{�(�-3)+�(�+3)}{(�+3)(�-3)}$$

$$=\frac{��-3�+��+3�}{(�+3)(�-3)}$$

$$=\frac{�(�+�)-3�+3�}{(�+3)(�-3)}$$

Dado que el denominador siempre es el mismo, deben igualarse los numeradores:

$$�(�+�)-3�+3�=1$$

Igualar los respectivos coeficientes de cada potencia de $�$, conduce a las siguientes ecuaciones:

$\phantom{\mathrm{}}�+\phantom{\mathrm{}}�=0$

$-3�+3�=1$

Se deduce fácilmente, sumando ambas ecuaciones término a término, que:

$2�=1\Rightarrow �={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Puesto que $�=-�$, entonces:

$�=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Por lo tanto:

$$\frac{1}{(�+3)(�-3)}=\frac{�}{�+3}+\frac{�}{�-3}$$

$$=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{�+3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{�-3}\right)$$

Y la integral buscada se transforma en:

$$\int \frac{��}{{�}^2-9}=-\frac{1}{2}\int \frac{��}{�+3}+\frac{1}{2}\int \frac{��}{�-3}$$

$$=-\frac{1}{2}\ln \mid \frac{1}{�+3}\mid +\frac{1}{2}\ln \mid \frac{1}{�-3}\mid +�$$

Por lo tanto:

$$\int \frac{��}{{�}^2-9}=-\frac{1}{2}\ln \mid \frac{1}{�+3}\mid +\frac{1}{2}\ln \mid \frac{1}{�-3}\mid +�$$

$$Video\; explicativo$$

 

$$$$

$$\int \frac{{�}^2+�+3}{�-2}��$$