El objetivo del método de Fermat es, como su nombre lo indica, encontrar el máximo o el mínimo de una función f cuya variable es A. Se puede enunciar el método de Fermat de la siguiente manera. Reemplacemos A por1 A + E en f y hagamos f(A + E) aproximadmaente igual a f(A). Ordinariamente estos valores serán diferentes, pero en un máximo o un mínimo de una curva suave el cambio será casi imperceptible. Es por ello que para encontrar puntos máximos y mínimos Fermat igualaba f(A) y f(A + E), pues se dio cuenta de que los valores, aunque no eran idénticos, eran casi iguales. Dividamos cada término por E y finalmente eliminemos todos los términos que contengan E. Mientras más pequeño es el intervalo E entre dos puntos, la pseudoigualdad tiende a volverse una verdadera ecuación; por ende Fermat, tras dividir por E, hacía E = 0. La ecuación resultante se anula para uno o varios valores de la variable A, y estos valores corresponden a máximos y mínimos.
Apliquemos el método de Fermat al problema de dividir un número positivo en dos partes de manera que el producto sea máximo. Sea N el número conocido y A la cantidad desconocida. Entonces deberemos maximizar f(A) = A(N - A) = AN - A2. Apliquemos el método. Sustituyendo A por A + E en f, tenemos
y como f(A) = AN - A2, la pseudoigualdad es
de donde, simplificando,
Al dividir por E la expresión, obtenemos
Finalmente, haciendo E = 0 en la igualdad, resulta
Es decir, f alcanza su máximo, cuando A = N/2.
Es importante señalar que este método algorítmico es equivalente a calcular
| lim | f(A + E) - f(A) |
| —————— | |
| E —› 0 | E |
e igualarlo a cero. Aquí está en esencia el proceso que ahora llamamos derivación. Obviamente Fermat no poseía el concepto de límite, pero fuera de eso su método de máximos y mínimos es paralelo al que se usa en cálculo hoy día. El proceso de cambio de variable de A por A + E y los valores próximos utilizados constituyen la esencia del análisis infinitesimal. Subrayaremos además que el método de Fermat no permite distinguir entre un máximo y un mínimo.2
Teorema 1. Sea f una función definida en un intervalo abierto (a,b) tal que posee un máximo local o un mínimo local en c(a,b). Si f posee derivada en c, entonces f'(c) = 0.
El recíproco de este teorema es falso. En general, el saber que f'(c) = 0 no basta para deducir que f tiene un máximo o un mínimo en c. De hecho, es posible que carezca de ellos, como puede verificarse en el caso de f(x) = x3 con c = 0. Aquí f'(c) = 0 pero f es creciente en todo R. Además, es conveniente insistir en el hecho de que f puede tener un máximo local o un mínimo local en c sin que f'(c) = 0. Por ejemplo, f(x) = |x| tiene un mínimo en x = 0 pero naturalmente no existe la derivada en cero.
Veamos otro ejemplo de la aplicación del método de máximos y mínimos de Fermat. Encontremos los valores máximos o mínimos de
Es claro que f(x) = x3 + 6x2x - 12, y por ende
= x3 + 3x2E + 3xE2 + E3 + 6x2 + 12xE + 6E2 + 5x + 5E - 12
= x3 + (3E + 6) x2 + (3E2 + 12E + 5) x + E3 + 6E2 + 5E - 12.
Igualando f(x) con f(x + E) obtenemos
de donde, simplificando, resulta
Al dividir ambos miembros de la ecuación por E tenemos
Tomando el valor de E = 0 resulta 3x2 + 12x + 5 = 0. Resolviendo esta ecuación de segundo grado tenemos
| x = | - 12 ± SQRT(122 - 4(3)(5)) | = | - 6 ± SQRT(21) |
| ——————————— | ——————— . | ||
| 6 | 3 |
de modo que
| - 6 + SQRT(21) | y | - 6 - SQRT(21) |
| ——————— | ——————— | |
| 3 | 3 |
son los valores de x en los cuales f alcanza su máximo o su mínimo.
Otro Ejemplo:
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