DERIVACION IMPLICITA

La derivación implícita es una técnica que se aplica a funciones definidas implícitamente, esto es a funciones definidas por una ecuación en que la variable “y” no está despejada. La ventaja de este método es que no requiere despejar la variable “y” para encontrar la derivada.

Hay funciones que se presentan de forma explícita, es decir, donde la variable “y” está escrita en función de la variable “x”. 

Ejemplos:

Sin embargo, hay otras funciones que no pueden ser planteadas de tal manera que la variable “y” quede escrita en función únicamente de la variable “x”.

Ejemplos:

En algunos textos, se establece que una función implícita es una relación que se expresa en términos de x y y por ejemplo:

A fin de derivar este tipo de funciones se tienen que derivar término a término los elementos de la igualdad respecto a la variable que se indica y al final se despeja la derivada.

Ejemplo 1: Determina la derivada de la siguiente función implícita.

Ejemplo 2: Determina la derivada de la siguiente función implícita.

cos⁡(x+y) = sen(x-y)

Se derivan ambos miembros de la igualdad:

Derivadas de orden superior:

Las derivadas de orden superior de una función se obtienen al derivar ésta, tantas veces como lo indique el orden de la derivada requerida.
La derivada de una función se llama primera derivada y se representa de la siguiente manera:

Si obtenemos la derivada de la derivada de una función a la función obtenida se le llama segunda derivada y se representa como:

El proceso puede repetirse tantas veces como se requiera. A este proceso se le da el nombre de derivadas sucesivas.

Ejemplo 1: Encuentra la segunda derivada de la siguiente función.

y = cos3 x

Obtenemos primero la 1ª. Derivada:

A partir de la función obtenida se obtiene la segunda derivada:

Ejemplo 2: Encuentra la cuarta derivada de la siguiente función.

fx = x3+2x2-x

Obtenemos las derivadas de manera sucesiva de tal modo que el resultado obtenido es:

Acontinuacion se muestra el siguiente video para reforzar el tema.

Derivadas exponenciales y logarítmicas

 

Potenciación, radicación y logaritmación

Potenciación, radicación y logaritmación son tres operaciones matemáticas

relacionadas entre sí. Potenciación: Es la operación mediante la cual una cantidad llamada base se

multiplica por sí mismo un número de veces. El resultado se llama potencia

mientras que la cantidad de veces que se multiplica la base se llama exponente. Radicación: Es una operación inversa a la potenciación, en la cual se obtiene un

número llamado raíz tal que al multiplicarlo por sí mismo el número de veces

que indica el exponente, se obtiene el radicando o subradical.

El exponente de la potencia es el índice de la raíz. Logaritmación: Es otra operación inversa de la potenciación. Consiste en hallar el

exponente al cual fue elevada la base para obtener la potencia. El resultado de la

operación se llama logaritmo y equivale al exponente de la potencia. En la logaritmación, la base puede ser cualquier número mayor que cero pero diferente

de uno. Sin embargo, normalmente sólo se utilizan dos: base 10 para los

logaritmos decimales y base e para los logaritmos naturales. El número e (número de Euler) es un número irracional. Su equivalencia

es e = 2.718281.... Un logaritmo decimal (base 10) se escribe log x mientras que un logaritmo

natural (base e) se escribe ln x. La tabla siguiente es una síntesis de las tres operaciones analizadas:

Función exponencial y función logarítmica Función exponencial es una función cuya ecuación es

siendo a > 0 y

La variable independiente x es el exponente. Las imágenes de f(x)

son las potencias del número a que es la base. Función logarítmica es una función cuya expresión es

, a > 0 y.

Las imágenes de f(x) son los exponentes de la potencia de base a. Las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son inversas entre sí, es

decir, son simétricas con respecto de la función identidad f(x) = x. En el applet que sigue se analizan gráficamente la función exponencial

f(x) = ax y la función logarítmica g(x) = logax con la base a (deslizador)

entre 0.1 y 10. De cada función se muestra su inversa. Adicionalmente se

muestran las funciones cuya base es el número de Euler: r(x) = ex y s(x) = ln x.

Reglas de derivación Trigonométricas

 En esta clase vimos las otras reglas de derivación Trigonométricas que nos hicieron falta la semana pasada, también jugamos un poco memoria, levantando cartas y encontrando pares, estas son las reglas que vimos en clase:

La regla del cociente es una regla que establece que se puede derivar un cociente de funciones tomando el denominador g(x) multiplicado por la derivada del numerador f(x) restado al numerador f(x) multiplicado por la derivada del denominador g(x), todo dividido por el cuadrado del denominador g(x).

En este video nos explican cuales son las formulas y como derivar desde el inicio

Ejercicio 1

Hallar igualmente la derivada de esta función compuesta con el seno:

Por el mismo procedimiento que el del ejercicio 1

Ejercicio 2

Hallar la derivada de esta función, composición de funciones con el coseno:

La derivada se hallará, como se ha dicho, aplicando la regla de la cadena:

Ejercicio 3

Hallar igualmente la derivada de esta función compuesta:

La derivada se hallará también con la regla de la cadena, pero esta vez con una de las tres alternativas equivalentes para la derivada de la tangente:

Ejercicio 4

Hallar la derivada del arcoseno de la función f(x) = 2x³.

Ejercicio 5

Obtener la derivada de esta función compuesta aplicando la regla de la cadena:

Ejercicio 6

Hallar la derivada de la arcotangente de la función f(x) = x²: