Redacta una autoevaluación personal mencionando tus fortalezas y debilidades en el curso de Calculo Diferencial. Por ultimo, evalúa el desempeño del docente y que podría mejorar.
Mi desenpeño creo que no ha sido muy favorable, aprendo lento y me confundo, necesito dedicarle mas tiempo al aprendizaje en calculo, nunca ha sido mi fuerte ni cuando estaba mas joven, pero le echo ganas y trato de entregar mis trabajos y salir adelante con todas mis actividades, me falta ser mas organizada, mi retension de la memoria no es muy buena pero trabajo en ello, en cuanto a la materia y al profesor, me gusta como da la clase, aun que siento que va muy rapido y no al canzo a entender muy bien.
Mejoras en clase: Que fuera un poco mas lento y al final de las clases senti que nos llevo muy rapido y no alcance a comprender.
--Maximos y minimos de una funsion con el metodo FERMAT--
El objetivo del método de Fermat es, como su nombre lo indica, encontrar el máximo o el mínimo de una función f cuya variable es A. Se puede enunciar el método de Fermat de la siguiente manera. Reemplacemos A por1A + E en f y hagamos f(A + E) aproximadmaente igual a f(A). Ordinariamente estos valores serán diferentes, pero en un máximo o un mínimo de una curva suave el cambio será casi imperceptible. Es por ello que para encontrar puntos máximos y mínimos Fermat igualaba f(A) y f(A + E), pues se dio cuenta de que los valores, aunque no eran idénticos, eran casi iguales. Dividamos cada término por E y finalmente eliminemos todos los términos que contengan E. Mientras más pequeño es el intervalo E entre dos puntos, la pseudoigualdad tiende a volverse una verdadera ecuación; por ende Fermat, tras dividir por E, hacía E = 0. La ecuación resultante se anula para uno o varios valores de la variable A, y estos valores corresponden a máximos y mínimos.
Apliquemos el método de Fermat al problema de dividir un número positivo en dos partes de manera que el producto sea máximo. Sea N el número conocido y A la cantidad desconocida. Entonces deberemos maximizar f(A) = A(N - A) = AN - A2. Apliquemos el método. Sustituyendo A por A + E en f, tenemos
f(A + E) = (A + E) N - (A + E)2 = AN + EN - A2 - 2AE - E2,
y como f(A) = AN - A2, la pseudoigualdad es
AN - A2 = AN + EN - A2 - 2AE - E2,
de donde, simplificando,
EN - 2AE - E2 = 0.
Al dividir por E la expresión, obtenemos
N - 2A - E = 0.
Finalmente, haciendo E = 0 en la igualdad, resulta
2A = N.
Es decir, f alcanza su máximo, cuando A = N/2.
Es importante señalar que este método algorítmico es equivalente a calcular
lim
f(A + E) - f(A)
——————
E —› 0
E
e igualarlo a cero. Aquí está en esencia el proceso que ahora llamamos derivación. Obviamente Fermat no poseía el concepto de límite, pero fuera de eso su método de máximos y mínimos es paralelo al que se usa en cálculo hoy día. El proceso de cambio de variable de A por A + E y los valores próximos utilizados constituyen la esencia del análisis infinitesimal. Subrayaremos además que el método de Fermat no permite distinguir entre un máximo y un mínimo.2
Teorema 1.Sea f una función definida en un intervalo abierto (a,b) tal que posee un máximo local o un mínimo local en c(a,b). Si f posee derivada en c, entonces f'(c) = 0.
El recíproco de este teorema es falso. En general, el saber que f'(c) = 0 no basta para deducir que f tiene un máximo o un mínimo en c. De hecho, es posible que carezca de ellos, como puede verificarse en el caso de f(x) = x3 con c = 0. Aquí f'(c) = 0 pero f es creciente en todo R. Además, es conveniente insistir en el hecho de que f puede tener un máximo local o un mínimo local en c sin que f'(c) = 0. Por ejemplo, f(x) = |x| tiene un mínimo en x = 0 pero naturalmente no existe la derivada en cero.
Veamos otro ejemplo de la aplicación del método de máximos y mínimos de Fermat. Encontremos los valores máximos o mínimos de
