Reglas de derivación algebraicas

En esta secion de la segunda unidad de calculo diferencial, vimos en la clase que existen reglas de derivacion algebraicas y que es un proceso que usa diferentes métodos para llegar a la derivada de una función; varios de ellos son los que corresponden a reglas para: funciones que se dividen entre ellas, funciones que se multiplican entre ellas o funciones compuestas. Estas componen algunas de las reglas de derivación más importantes.

Reglas de la derivación: la regla de la cadena

La regla de la cadena puede utilizarse cuando se diferencia una función compuesta, que también se conoce como función de una función. La fórmula de esta regla es la siguiente:

Ejemplo: 

Usando la regla de la cadena, diferencia la siguiente función: $�=(2{�}^3+�{)}^6$.

Ahora, puedes encontrar la primera parte de tu fórmula de la regla de la cadena, diferenciando: ${�}^{\prime }(�)=6{�}^5$.

A continuación, puedes encontrar la segunda parte de la fórmula de la regla de la cadena, diferenciando:

$${\displaystyle \frac{��}{��}}=6{�}^2+1$$

Ahora que has encontrado las dos partes de tu suma, puedes multiplicarlas, para encontrar:

$${\displaystyle \frac{��}{��}}={\displaystyle \frac{��}{��}}\times {\displaystyle \frac{��}{��}}$$

$${\displaystyle \frac{��}{��}}=6{�}^5\times (6{�}^2+1)$$

$${\displaystyle \frac{��}{��}}=6{�}^5(6{�}^2+1)$$

Por último, es importante expresar tu respuesta en términos de $�$, y para ello puedes utilizar:

Con lo cual tienes: ${\displaystyle \frac{��}{��}}=6(2{�}^3+�{)}^5(6{�}^2+1)$.

Reglas de derivación: la regla del producto

La regla del producto se utiliza cuando se diferencia el producto de dos funciones.                 Si tenemos la siguiente función que, es la multiplicación de dos funciones: 

$�=�\cdot �$.

Entonces, la derivada de la función es: ${�}^{\prime }={�}^{\prime }�+�{�}^{\prime }$.

Es decir: $�=��$, $�=�(�),�=ℎ(�)$.

Esta función también se puede escribir en notación de función:

$$�(�)=�(�)ℎ(�)$$

$${�}^{\prime }(�)={�}^{\prime }(�)ℎ(�)+�(�){ℎ}^{\prime }(�)$$

Reglas de derivación, división de funciones o cocientes

La regla del cociente se utiliza cuando se diferencia el cociente de dos funciones; es decir, cuando una función se divide por otra. La fórmula utilizada para esta regla es la siguiente, esto es cuando se tiene:

$$�={\displaystyle \frac{�}{�}}$$

y por lo tanto: ${�}^{\prime }={\displaystyle \frac{{�}^{\prime }�+�{�}^{\prime }}{{�}^2}}$.

Esto también se puede escribir en notación de funciones como:

$$�(�)={\displaystyle \frac{�(�)}{ℎ(�)}}$$

$${�}^{\prime }(�)={\displaystyle \frac{ℎ(�){�}^{\prime }(�)-�(�){ℎ}^{\prime }(�)}{(ℎ(�){)}^2}}$$

Estas son algunas de las reglas de la derivacion algebraica, a continuacion adjuntare un video que me muestra a derivar desde cero para que sea mas entendible para mi, claro que esto se lograrar con mucha practica.