Calculo de longitud de una curva

Para otros usos de este término, véase Longitud.

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron utilizados varios métodos para curvas específicas. La llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Cálculo mediante integrales de por el método de Yahir Irviel[editar]

Al considerar una curva definida por una función ${\displaystyle �(�)}$ y su respectiva derivada ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)}$ que son continuas en un intervalo ${\displaystyle [�,�]}$, la longitud ${\displaystyle �}$ del arco delimitado por ${\displaystyle �}$ y ${\displaystyle �}$ es dada por la ecuación:

(1)${\displaystyle �={\int }_{�}^{�}\sqrt{1+{\left[{�}^{\prime }\left(�\right)\right]}^2}\text{d}�}$

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como ${\displaystyle �=�\left(�\right)}$ e ${\displaystyle �=�\left(�\right)}$, la longitud del arco desde el punto ${\displaystyle (�(�),�(�))}$ hasta el punto ${\displaystyle (�(�),�(�))}$ se calcula mediante:

(2)${\displaystyle �={\int }_{�}^{�}\sqrt{{\left[{�}^{\prime }\left(�\right)\right]}^2+{\left[{�}^{\prime }\left(�\right)\right]}^2}\text{d}�}$

Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante ${\displaystyle �=�(�)}$, la longitud del arco comprendido en el intervalo ${\displaystyle [�,�]}$, toma la forma:

(3)${\displaystyle �={\int }_{�}^{�}\sqrt{[�(�){]}^2+{\left[{�}^{\prime }(�)\right]}^2}\text{d}�}$

En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.

Un caso un poco más general que el último, es el caso de coordenadas curvilíneas generales (e incluso el de espacios no euclídeos) caracterizadas por un tensor métrico ${\displaystyle {�}_{��}}$ donde la longitud de una curva ${\displaystyle �:[�,�]\to �}$ viene dada por:

(4)${\displaystyle �={\int }_{�}^{�}\sqrt{\sum _{�,�}{�}_{��}\frac{\text{d}{�}^{�}}{\text{d}�}\frac{\text{d}{�}^{�}}{\text{d}�}}\text{d}�}$

Por ejemplo el caso de coordenadas polares se obtiene de este haciendo ${\displaystyle {�}^1=�,{�}^2=�;{�}_{11}=1,{�}_{22}={�}^2,{�}_{12}={�}_{21}=0;�=�(�),�=�}$.

Ejemplos de cálculo[editar]

El perímetro de una circunferencia de radio R puede calcularse a partir de la ecuación de esta curva en coordenadas polares

${\displaystyle �(�)=�,0\le �\le 2�}$

Para calcular el perímetro se utiliza entonces la ecuación (3)

${\displaystyle �={\int }_0^{2�}\sqrt{[�(�){]}^2+{\left[{�}^{\prime }(�)\right]}^2}\text{d}�=�{\int }_0^{2�}\text{d}�=2��}$

Se obtiene que el perímetro de una circunferencia es proporcional al diámetro, lo que se corresponde con la definición de pi.

Para determinar la longitud de un arco de circunferencia, basta restringir el ángulo de barrido de la curva a un intervalo más pequeño.

${\displaystyle �(�)=�,{�}_0\le �\le {�}_1}$

La longitud del arco queda

${\displaystyle �={\int }_{{�}_0}^{{�}_1}\sqrt{[�(�){]}^2+{\left[{�}^{\prime }(�)\right]}^2}\text{d}�=�\cdot ({�}_1-{�}_0)}$

Deducción de la fórmula para funciones de una variable[editar]

Aproximación por múltiples segmentos lineales.

Para un pequeño segmento de curva, Δs se puede aproximar con el teorema de Pitágoras.

Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función ${\displaystyle �\left(�\right)}$, y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva ${\displaystyle �}$ que va desde un punto ${\displaystyle �}$ a uno ${\displaystyle �}$. Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a ${\displaystyle \mathrm{\Delta }�}$, de manera que para cada uno existirá un cateto ${\displaystyle \mathrm{\Delta }�}$ asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa, ${\displaystyle \mathrm{\Delta }�=\sqrt{\mathrm{\Delta }{�}^2+\mathrm{\Delta }{�}^2}}$, al aplicarse el teorema de Pitágoras. Así, una aproximación de ${\displaystyle �}$ estaría dada por la sumatoria de todas aquellas ${\displaystyle �}$ hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene que:

${\displaystyle �\approx \sum _{�=1}^{�}\sqrt{\mathrm{\Delta }{�}_{�}^2+\mathrm{\Delta }{�}_{�}^2}}$

Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;

${\displaystyle \sqrt{\mathrm{\Delta }{�}^2+\mathrm{\Delta }{�}^2}=\sqrt{(\mathrm{\Delta }{�}^2+\mathrm{\Delta }{�}^2)\left(\frac{\mathrm{\Delta }{�}^2}{\mathrm{\Delta }{�}^2}\right)}=\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{\Delta }{�}^2}{\mathrm{\Delta }{�}^2}\right)}\mathrm{\Delta }�=\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{\Delta }�}{\mathrm{\Delta }�}\right)}^2}\mathrm{\Delta }�}$

Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:

${\displaystyle �\approx \sum _{�=1}^{�}\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{\Delta }{�}_{�}}{\mathrm{\Delta }{�}_{�}}\right)}^2}\mathrm{\Delta }{�}_{�}}$

Ahora bien, mientras más pequeños sean estos ${\displaystyle �}$ segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo que ${\displaystyle \mathrm{\Delta }�}$ tienda a cero. Así, ${\displaystyle \mathrm{\Delta }�}$ se convierte en ${\displaystyle ��}$, y cada cociente incremental ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{�}_{�}/\mathrm{\Delta }{�}_{�}}$ se transforma en un ${\displaystyle ��/��}$ general, que es por definición ${\displaystyle {�}^{\prime }\left(�\right)}$. Dados estos cambios, la aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;

${\displaystyle �=\underset{\mathrm{\Delta }{�}_{�}\to 0}{lim}\sum _{�=1}^{\mathrm{\infty }}\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{\Delta }{�}_{�}}{\mathrm{\Delta }{�}_{�}}\right)}^2}\mathrm{\Delta }{�}_{�}={\int }_{�}^{�}\sqrt{1+{\left(\frac{\text{d}�}{\text{d}�}\right)}^2}\text{d}�={\int }_{�}^{�}\sqrt{1+{\left[{�}^{\prime }\left(�\right)\right]}^2}\text{d}�}$