Método de Arandelas

Este método se basa en el método anterior llamado “Método de Discos” pero en este caso se usa dos discos. El disco mas pequeño es una vacuna por la que se le da el nombre de una arista por formar una especie de solido hueco. En términos generales, este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el solido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el solido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución. Es muy importante mencionar que este método se usa dos radios por lo tanto dos discotecas diferentes pero siempre el ancho del disco es ∇ y o Δx depende del eje de rotación.

Ejemplos:

Método de díscos

Si una región del plano, se hace girar al rededor de un eje paralelo al eje $x$ , de tal forma que se genera un sólido de revolución cuyas secciones transversales perpendiculares al eje de rotación, son discos con centro en el eje de revolución. Entonces el volumen del sólido esta dado por

$V=\int_{a}^{b} \pi R^2 dx$

donde $R$ es el radio del disco expresado en términos de la variable de integración.

Método de anillos

Si una región del plano, se hace girar al rededor de un eje paralelo al eje $x$ , de tal forma que se genera un sólido de revolución cuyas secciones transversales, perpendiculares al eje de rotación, son anillos con centro en el eje de revolución. Entonces el volumen del sólido esta dado por

$V=\int_{a}^{b} \pi (R^2-r^2) dx$

donde $R$ es el radio del disco exterior y $r$ es el radio del disco interior expresados en términos de la variable de integración.

Ejemplo:

Primero se dibuja la región del plano que se va a girar, el eje de rotación y un elementodiferencial de área perpendicular al eje de rotación. En la misma figura se indica el radio del disco que se genera al rotar la región alrededor de la recta y  4