Cambio de variable

 

El método de cambio de variable

El método de sustitución esencialmente revierte la regla de la cadena para derivadas. En otras palabras, nos ayuda a integrar composiciones de funciones.

Cuando buscamos antiderivadas, básicamente realizamos una "diferenciación inversa". En algunos casos, esta operación es muy sencilla. Por ejemplo, sabemos que la derivada de ${�}^2$start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54 es $2�$start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, por lo que ${\displaystyle \int 2���={�}^2+�}$integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, d, x, equals, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, plus, C. Podemos usar este sencillo razonamiento con otras funciones básicas, como $\sin (�)$sine, left parenthesis, x, right parenthesis, ${�}^{�}$e, start superscript, x, end superscript, ${\displaystyle \frac{1}{�}}$start fraction, 1, divided by, x, end fraction, etcétera.

Otros casos, sin embargo, no son tan simples. Por ejemplo, ¿cuánto vale ${\displaystyle \int \cos (3�+5)��}$integral, cosine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, d, x? Pista: no es $\sin (3�+5)+�$sine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, plus, C. Intenta derivar y verás por qué. 

[Muéstrame.]

Un método que puede ser muy útil es un cambio de variables$$, que básicamente es el inverso de la regla de la cadena.

Usar $$cambio de variables en integrales indefinidas

Imagina que nos piden encontrar ${\displaystyle \int 2�\cos ({�}^2)��}$integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Observa que $2�$start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab es la derivada de ${�}^2$start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, que es la función "interior" de la función compuesta $\cos ({�}^2)$start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10. En otras palabras, si $�(�)={�}^2$start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #1fab54 y $�(�)=\cos (�)$start color #e07d10, w, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, entonces:

$\stackrel{{�}^{\mathrm{\prime }}}{\overbrace{2�}}\underset{�}{\underbrace{\cos (\stackrel{�}{\overbrace{{�}^2}})}}={�}^{\mathrm{\prime }}(�)�\left(�(�)\right)$start color #7854ab, start overbrace, 2, x, end overbrace, start superscript, u, prime, end superscript, end color #7854ab, start color #e07d10, start underbrace, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, u, end superscript, end color #1fab54, right parenthesis, end underbrace, start subscript, w, end subscript, end color #e07d10, equals, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab, start color #e07d10, w, left parenthesis, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, end color #e07d10

Esto siguiere que podemos usar un $$cambio de variable. Veamos cómo se hace.

Primero, derivamos la ecuación $�={�}^2$start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 con respecto a $�$x, donde tratamos la variable $�$u como una función implícita de $�$x.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle �}& {\displaystyle ={�}^2}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle \frac{�}{��}[�]}& {\displaystyle =\frac{�}{��}[{�}^2]}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle \frac{��}{��}}& {\displaystyle =2�}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle ��}& {\displaystyle =2���}\end{array}$

En la última igualdad, multiplicamos la ecuación por $��$d, x para despejar $��$d, u. Esto es poco ortodoxo, pero útil para nuestro siguiente paso. Así, tenemos que $�={�}^2$start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 y $��=2���$start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Ahora podemos realizar una sustitución en la integral:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{}{\displaystyle \int 2�\cos ({�}^2)��}}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \int \cos (\underset{�}{\underbrace{{�}^2}})\underset{��}{\underbrace{2���}}}}& {\displaystyle \text{Reordena.}}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \int \cos (�)��}}& {\displaystyle \text{Sustituye.}}\end{array}$

Después de la sustitución tenemos una expresión para la antiderivada de $\cos (�)$start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 en términos de $�$u. ¡Qué conveniente! $\cos (�)$cosine, left parenthesis, u, right parenthesis es una función básica, por lo que podemos encontrar su antiderivada de forma sencilla. Lo único que queda por hacer es escribir la función en términos de $�$x:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{}{\displaystyle \int \cos (�)��}}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin (�)+�}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin ({�}^2)+�}\end{array}$

En conclusión, ${\displaystyle \int 2�\cos ({�}^2)��}$integral, 2, x, cosine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, d, x is $\sin ({�}^2)+�$sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C. Puedes derivar $\sin ({�}^2)+�$sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C para verificar que es cierto.

Punto clave #1: un $$cambio de variable es básicamente invertir la regla de la cadena:

• De acuerdo con la regla de la cadena, la derivada de $�(�(�))$start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 es ${�}^{\mathrm{\prime }}(�(�))\cdot {�}^{\mathrm{\prime }}(�)$start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab.
• En un $$cambio de variable, tomamos una expresión de la forma ${�}^{\mathrm{\prime }}(�(�))\cdot {�}^{\mathrm{\prime }}(�)$start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab y encontramos su antiderivada, $�(�(�))$start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10.

Punto clave #2: un $$cambio de variable nos ayuda a simplificar una expresión complicada al volver una variable la función "interior".

Fuente:  Kahn academic.